[Βιβλίο: Παράγραφοι 3.1 έως και το μέσον της 3.3 (σελίδες 93-104) και παράγραφος 3.8 (σελ. 126-129)].

Ημέρες διδασκαλίας και εργαστηρίων 4ης και 5ης εβδομάδας του εξαμήνου: με τα μέχρι στιγμής δεδομένα της Σχολής Θετικών και Τεχνολογικών Επιστημών σχετικά με τις διδασκαλίες την περίοδο των Δημοτικών Εκλογών, οι ημέρες διδασκαλίας και εργαστηρίων γιά το ΗΥ-120 διαμορφώνονται ως εξής:

• Διδασκαλία, Τμήμα Α: Τετ. 23/10, Παρ. 25/10, Τετ. 30/10, Παρ. 1/11 -- πάντα 3-5 μμ.
• Διδασκαλία, Τμήμα Β: Τρίτη 22/10, Πεμ. 24/10, Τρίτη 29/10, Πεμ. 31/10 -- πάντα 3-5 μμ.
• Εργαστήριο 3: Τα Τμήματα Τρίτης 22/10 έως και Πέμπτης 24/10: κανονικά. Τα Τμήματα Δευτέρας μεταφέρονται από 21/10 στο Σάββατο 26/10, στις ίδιες ώρες.
• Εργαστήριο 4: Τα Τμήματα Τρίτης 29/10 έως και Πέμπτης 31/10: κανονικά. Τα Τμήματα Δευτέρας μεταφέρονται από 28/10 στο Σάββατο 2/11, στις ίδιες ώρες.

Σύνθεση Συνδυαστικών Κυκλωμάτων από τον Πίνακα Αληθείας τους:

Θα χρησιμοποιήσουμε, αρχικά, το παράδειγμα συνδυαστικού κυκλώματος δύο εισόδων και επτά εξόδοων που φαίνεται δεξιά. Οι έξοδοι οδηγούν τις 7 φωτοεκπομπούς διόδους της ένδειξης 7 τμημάτων που είδαμε στο εργαστήριο 0, σε τρόπον ώστε να εμφανίζονται σε αυτήν τα "γράμματα" A, b, c, και d, όταν οι είσοδοι είναι 00, 01, 10, και 11, αντίστοιχα. Γιά να επιτευχθούν τα σχήματα αυτά της οθόνης που φαίνονται δεξιά, πρέπει η κάθε έξοδος να έχει τις τιμές που δείχνει ο παρακάτω πίνακας στον καθένα από τους 4 συνδυασμούς τιμών των εισόδων· τιμή 1 προκαλεί άναμα της αντίστοιχης LED, ενώ τιμή 0 σημαίνει LED σβηστή:

    A  B    a  b  c  d  e  f  g

    0  0    1  1  1  0  1  1  1
    0  1    0  0  1  1  1  1  1
    1  0    0  0  0  1  1  0  1
    1  1    0  1  1  1  1  0  1

Διαγράμματα Venn Δύο Μεταβλητών (και Χάρτες Karnaugh):

Το διάγραμμα Venn έχει το εξής νόημα: θεωρούμε ότι η μεταβλητή εισόδου A προσδιορίζει κατά πόσον είμαστε μέσα στην "περιοχή A" (κάτω γραμμή) ή έξω από αυτήν (1 = μέσα, 0 = έξω). Ομοίως, η είσοδος B μας λέει αν είμαστε μέσα (1) στην περιοχή B (δεξιά στήλη) ή έξω (0) από αυτήν. Όταν μας δίνουν μιά λογική συνάρτηση (δηλαδή άσσους και μηδενικά στα 4 τετραγωνάκια), εμείς κοιτάζουμε σε ποιά περιοχή η συναρτηση αυτή γίνεται αληθής (τιμή = 1), και περιγράφουμε αυτή την περιοχή σαν συνάρτηση των τιμών των εισόδων A και B. Αν η συνάρτηση γίνεται αληθής μόνο στο κάτω δεξιό τετράγωνο, τότε γίνεται αληθής όταν είμαστε "μέσα" στο A (A=1) και "μέσα" στο B (B=1), δηλαδή όταν είναι αληθές το A και αληθές το B, δηλαδή όταν "A ΚΑΙ B" ("A AND B"). Κατ' αναλογία, όταν μιά λογική συνάρτηση 2 μεταβλητών γίνεται αληθής μόνο στο κάτω αριστερό τετράγωνο, τότε αυτή γίνεται αληθής όταν είμαστε μέσα στο A (A=1) και "έξω" από το B (B=0), δηλαδή όταν είναι αληθές το A και ψευδές (όχι αληθές) το B, δηλαδή όταν "A ΚΑΙ (ΟΧΙ B)" ("A AND (NOT B)"). Ομοίως, η λογική συνάρτηση που γίνεται αληθής μόνο στο πάνω δεξιό τετράγωνο είναι η "(NOT A) AND B", ενώ η συνάρτηση που γίνεται αληθής μόνο στο πάνω αριστερό τετράγωνο είναι η "(NOT A) AND (NOT B)". Στην περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος με την ένδειξη 7 τμημάτων, η έξοδος a τυχαίνει να είναι ακριβώς αυτή η τελευταία συνάρτηση, όπως διαπιστώνουμε εύκολα αν σχεδιάσουμε τον πίνακα αληθείας της στη μορφή που φαίνεται στο σχήμα.

Όταν μιά λογική συνάρτηση γίνεται αληθής (τιμή = 1) σε δύο διπλανά τετράγωνα, τότε αυτή μπορεί να περιγραφεί σαν "μέσα" ή "έξω" από την περιοχή της μιάς από τις δύο μεταβλητές εισόδου. Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, η έξοδος f, που γίνεται 1 στα δύο τετράγωνα της επάνω γραμμής, μπορεί να περιγραφεί σαν "έξω" από το A, δηλαδή ΟΧΙ A, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αντίστοιχα, μιά συνάρτηση που θα γίνονταν 1 στην κάτω γραμμή θα ήταν ίση με A, αν γίνονταν 1 στη δεξιά στήλη θα ήταν ίση με B, και αν γίνονταν 1 στην αριστερή στήλη θα ήταν ίση με NOT B.

Μιά λογική συνάρτηση που γίνεται αληθής σε τρία τετράγωνα μπορεί να περιγραφεί όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά. Στο επάνω μέρος του σχήματος φαίνονται τρείς εναλλακτικές περιγραφές γιά τη συνάρτηση που οδηγεί το τμήμα d της ένδειξης 7 τμημάτων. Στην πρώτη περιγραφή, η περιοχή αληθείας της d ορίζεται σαν η ένωση τριών περιοχών μεγέθους ενός τετραγώνου η καθεμία. Καθώς παραπάνω η τομή περιοχών αντιστοιχούσε στο λογικό και, η ένωση περιοχών, εδώ, αντιστοιχεί στο λογικό ή, αφού η συνάρτηση είναι αληθής όποτε είναι αληθής ή ο ένας όρος, ή ο δεύτερος, ή ο τρίτος (ή περισσότεροι ταυτόχρονα). Έτσι, οι τρείς περιοχές του πρώτου σχήματος μας δίνουν την περιγραφή της συνάρτησης που φαίνεται από πάνω, η οποία είναι το λογικό ή τριών όρων που ο καθένας τους είναι ένα λογικό και.

Η δεύτερη περιγραφή της λογικής συνάρτησης d οδηγεί σε απλούστερη έκφραση, διότι χρησιμοποιεί λιγότερες και μεγαλύτερες βασικές περιοχές. Όσο μεγαλύτερη είναι μιά βασική περιοχή γειτονικών τετραγώνων, τόσο λιγότερους όρους "και" έχει η αντίστοιχη λογική έκφραση· και όσο λιγότερες περιοχές χρειάζεται να ενώσουμε γιά να καλύψουμε την περιοχή αληθείας της συνάρτησής μας, τόσο λιγότερα κομμάτια θα ενώνουν οι πράξεις ή. Τελικά, η οικονομικότερη περιγραφή της λογικής συνάρτησης d είναι η τρίτη, δεξιά, διότι χρησιμοποιεί τις μεγαλύτερες δυνατές βασικές περιοχές, δηλαδή τους απλούστερους όρους· η εν μέρει επικάλυψη των περιοχών δεν έχει καμία σημασία, αφού η λογική πράξη ή είναι αληθής όταν είναι αληθείς είτε μία είτε περισσότερες από τις εισόδους της. Κατ' ανάλογο τρόπο, η εξοδος c που ζητάμε γιά το κύκλωμα του παραδείγματός μας είναι η λογική συνάρτηση "(NOT A) OR B", όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, κάτω αριστερά. Η μέθοδος αυτή της απλοποίησης λογικών συναρτήσεων μέσω συνένωσης γειτονικών τετραγώνων λέγεται "μέθοδος του Χάρτη Καρνώ" (Karnaugh Map).

Η έξοδος b του κυκλώματός μας πρέπει να ανάβει στα δύο τετράγωνα που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα (κάτω μέση), τα οποία όμως, δυστυχώς, δεν είναι γειτονικά. Γιά το λόγο αυτό, τα δύο αυτά τετράγωνα δεν μπορούν να συνενωθούν όπως παραπάνω, και δεν μπορεί να γίνει καμιά ιδιαίτερη απλοποίηση της σχετικής συνάρτησης --αυτή παραμένει αναγκαστικά η ένωση δύο ανεξάρτητων τετραγώνων: b = [(NOT A) AND (NOT B)] OR [A AND B]. Πρόκειται γιά τη συνάρτηση ισότητας που είδαμε στο εργαστήριο 1. Η άλλη λογική συνάρτηση 2 μεταβλητών που δεν απλοποιείται είναι η συνάρτηση αποκλειστικού Ή (exclusive OR, ή "XOR"), που επίσης είδαμε στο εργαστήριο 1, και που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, κάτω δεξιά.

Υλοποίηση των Λογικών Συναρτήσεων με Ηλεκτρονόμους:

Στο κύκλωμα αυτό υποθέτουμε ότι όταν A=1 πατιέται ο κάτω αριστερά διακόπτης SPST, και όταν B=1 πατιέται ο κάτω δεξιά διακόπτης SPST. Όταν πατιέται ο διακόπτης A, τροφοδοτούνται με ρεύμα οι 3 αριστεροί ηλεκτρονόμοι, κι έτσι έλκονται προς τα κάτω οι 5 διακόπτες SPDT αυτών των ηλεκτρονόμων· άρα, οι 5 αυτοί διακόπτες αποτελούν "αντίγραφα" του διακόπτη A. Ομοίως, οι 4 διακόπτες των 2 δεξιά ηλεκτρονόμων κινούνται πανομοιότυπα με τον διακόπτη B. Η έξοδος a τροφοδοτείται από τη θετική τροφοδοσία μέσω 2 διακοπτών εν σειρά, άρα ακολουθεί λογική "και"· επειδή χρησιμοποιήσαμε τις επάνω επαφές των διακοπτών, ρεύμα περνάει όταν οι διακόπτες είναι επάνω, δηλαδή όχι πατημένοι, κι έτσι προκύπτει η επιθυμητή λογική "όχι". Η έξοδος b τροφοδοτείται από το κύκλωμα ισότητας που είδαμε στο εργαστήριο 2.3. Η έξοδος c τροφοδοτείται μέσω 2 διακοπτών εν παραλλήλω, άρα ακολουθεί λογική "ή"· χρησιμοποιούμε την επάνω επαφή του A (όχι πατημένος) γιά να πετύχουμε λογική "όχι", και την κάτω επαφή του B (πατημένος) γιά να έχουμε θετική πολικότητα. Η έξοδος d τροφοδοτείται παρόμοια, αλλά εδώ χρησιμοποιούμε την κάτω επαφή και στους δύο διακόπτες, κι έτσι η πολικότητα είναι θετική ως προς και τις δύο εισόδους. Τέλος, η έξοδος f τροφοδοτείται μέσω ενός διακόπτη, ελεγχόμενου από την είσοδο A, και χρησιμοποιεί την "όχι πατημένη" επαφή, άρα ισούται με όχι A.

Πείραμα 3.1: Οι Αριθμοί 0-3 στην Οθόνη 7 Τμημάτων

Συμβολισμοί Λογικών Πράξεων:

Διαγράμματα και Χάρτες Τριών και Τεσσάρων Μεταβλητών:

Η συνέπεια είναι ότι οι στήλες του πίνακα αντιστοιχούν στις δύο μεταβλητές εισόδου B και C με τη σειρά που φαίνεται στο σχήμα: 00, 01, 11, 10 --η σειρά αυτή (που λέγεται και "κώδικας Gray") διαφέρει από τη συνηθισμένη σειρά αρίθμησης (μέτρησης) στο δυαδικό (00, 01, 10, 11). Με τη σειρά αυτή πετυχαίνουμε η περιοχή αληθείας της μεταβλητής B να αποτελείται από 4 γειτονικά τετράγωνα --τα 4 δεξιά τετράγωνα-- και ταυτόχρονα η περιοχή αληθείας της μεταβλητής C να αποτελείται επίσης από 4 γειτονικά τετράγωνα --τα 4 μεσαία τετράγωνα. Η περιοχή αληθείας του C' ( δηλ. του "ΝΟΤ C") είναι επίσης 4 "γειτονικά" τετράγωνα --δύο στη άκρη αριστερά και δύο στην άκρη δεξιά-- αλλά γιά να καταλάβουμε ότι αυτά είναι γειτονικά πρέπει να φανταστούμε τον πίνακα σαν ένα ξετυλιγμένο βαρέλι: τα τετράγωνα αυτά ήταν γειτονικά πριν το ξετύλιγμα. Γενικά, στο χάρτη 3 μεταβλητών, οιαδήποτε 4 "γειτονικά" τετράγωνα --δηλαδή 4 τετράγωνα σε σχήμα 2x2 ή 4x1-- αντιστοιχούν σε μία μεταβλητή εισόδου ή στην άρνησή της. Οι δύο οριζόντιες τετράδες αντιστοιχούν στο A και στο A' (ΝΟΤ A).

Περιοχές δύο γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ δύο εκ των τριών μεταβλητών εισόδου (ή των αρνήσεών τους). Μερικά τέτοια ζευγάρια φαίνονται στο παραπάνω σχήμα, κάτω δεξιά. Παρατηρήστε ότι τα ζευγάρια που περιλαμβάνουν το C' μοιάζουν "κομένα" --ένα τετράγωνο στην άκρη αριστερά και ένα στην άκρη δεξιά-- όμως αποτελούνται και αυτά από τετράγωνα που ήταν γειτονικά πριν ξετυλίξουμε το χάρτη από τη μορφή βαρελιού που λέγαμε πιό πάνω. Τέλος, φυσικά, όπως και στους χάρτες 2 μεταβλητών, μεμονωμένα τετράγωνα αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ όλων των μεταβλητών εισόδου ή των αρνήσεών τους, και περιοχές που προκύπτουν από την ένωση ομάδων τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό Ή των σχετικών όρων. Όταν καλύπτουμε περιοχές με τέτοιες ενώσεις, επιδιώκουμε η κάθε ομάδα γειτονικών τετραγώνων να είναι όσο μεγαλύτερη γίνεται (πάντα βέβαια μεγέθους δύναμης του 2, διατεταγμένη σε σχήμα ορθογωνίου)· επικαλύψεις περιοχών δεν μας ενοχλούν --αντίθετα βοηθούν στη μεγιστοποίηση της έκτασης της κάθε μεμονωμένης περιοχής.

Ο χάρτης Karnaugh τεσσάρων μεταβλητών σχεδιάζεται όπως φαίνεται δεξιά. Πρέπει να φανταστούμε ότι αυτός ο πίνακας 4x4 προέρχεται από διπλό ξετύλιγμα μιάς παράξενης σφαιροειδούς επιφάνειας και οριζόντια και κατακόρυφα. Η αριστερή και η δεξιά στήλη ήταν γειτονικές πριν το ξετύλιγμα, σαν να προέρχονται από ένα όρθιο βαρέλι, και αντιστοιχούν στη μεταβλητή D' (ΝΟΤ D). Ταυτόχρονα, η επάνω και η κάτω γραμμή ήταν κι αυτές γειτονικές, πριν το ξετύλιγμα από ένα πλαγιαστό βαρέλι, και αντιστοιχούν στη μεταβλητή B' (ΝΟΤ B).

Τετράδες γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ δύο εκ των τεσσάρων μεταβλητών εισόδου, ή των αρνήσεών τους. Μία τέτοια τετράδα --η πιό πολύ κομμένη απ' όλες-- φαίνεται στο σχήμα στις 4 γωνίες: πρόκειται γιά την περιοχή B'D', και τα τετράγωνά της ήταν όλα γειτονικά πριν το διπλό ξετύλιγμα. Άλλες κομμένες τετράδες έχουν 2 τετράγωνα αριστερά και 2 δεξιά, ή 2 τετράγωνα επάνω και 2 κάτω. Ζευγάρια γειτονικών τετραγώνων αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ τριών εκ των τεσσάρων μεταβλητών εισόδου, ή των αρνήσεών τους. Μεμονωμένα τετράγωνα αντιστοιχούν στο λογικό ΚΑΙ όλων των μεταβλητών εισόδου (ή των αρνήσεών τους).

Μπορούν να οριστούν και χάρτες Karnaugh πέντε ή περισσοτέρων μεταβλητών, αλλά δεν είναι πρακτικοί. Εξ' άλλου, ας μην ξεχνάμε ότι η απλοποίηση λογικών συναρτήσεων "με το μάτι" και "με το χέρι" ανήκει στο παρελθόν: σήμερα πιά υπάρχουν αποδοτικοί αλγόριθμοι και αντίστοιχα προγράμματα υπολογιστή που κάνουν αυτές τις απλοποιήσεις και πολλές άλλες αυτόματα γιά μας. Το πιό γνωστό τέτοιο πρόγραμμα αυτόματης σύνθεσης υλικού, σήμερα, είναι το "Synopsys".

Άσκηση 3.2: Οι Αριθμοί 0-7 στην Οθόνη 7 Τμημάτων

Πείραμα 3.3: Μετρητής Πλήθους Πατημένων Διακοπτών (με 3 διακόπτες)

Το ζητούμενο είναι να κατασκευάσουμε το κύκλωμα που φαίνεται δίπλα, το οποίο μετράει πόσοι "άσσοι" υπάρχουν στις εισόδους του. Γιά το κύκλωμα αυτό δεν έχει σημασία η θέση των άσσων και των μηδενικών στις εισόδους του --μόνο το πλήθος τους ενδιαφέρει· π.χ. οι είσοδοι 001, 010, και 100 έχουν όλες το ίδιο αποτέλεσμα σ' αυτό το κύκλωμα, διότι όλες τους έχουν από έναν άσσο (και άρα δύο μηδενικά). Η σχέση του κυκλώματος αυτού με την πρόσθεση θα πρέπει τώρα να είναι προφανής: το κύκλωμα αυτό βρίσκει το άθροισμα τριών αριθμών του ενός bit ο καθένας, δηλαδή τριών "πολυ μικρών" αριθμών: ο καθένας τους μπορεί να είναι μόνο το (αριθμητικό) μηδέν ή το (αριθμητικό) ένα (τους αντιδιαστέλω επίτηδες από το λογικό μηδέν και το λογικό ένα). Όπως φαίνεται στο σχήμα, το κύκλωμα θα έχει 4 εξόδους, οι οποίες θα είναι το αποκωδικοποιημένο άθροισμα: πάντα μία και μόνο μία από αυτές θα είναι αναμένη. Η έξοδος "zero" θα ανάβει όταν δεν υπάρχει κανένας άσσος στις εισόδους, η έξοδος "one" όταν υπάρχει ακριβώς ένας άσσος (το παραπάνω παράδειγμα), η έξοδος "two" όταν υπάρχουν ακριβώς δύο άσσοι, και τέλος η έξοδος "three" θα ανάβει όταν και οι τρείς είσοδοι είναι 1. Προφανώς υπάρχει μόνο ένας συνδυασμός εισόδων με κανένα άσσο (000), και μόνο ένας συνδυασμός εισόδων με τρείς άσσους (111), άρα οι λογικές συναρτήσεις γιά τις "εύκολες" εξόδους, zero και three, είναι:

      zero  = A' · B' · C'
      three = A · B · C

      one = A'·B'·C + A'·B·C' + A·B'·C'
      two = A'·B·C  + A·B'·C  + A·B·C'

      twoOrThree = A·B + A·C + B·C     

      one = (NOT twoOrThree) AND (NOT zero)
      two = (twoOrThree) AND (NOT three)

Στο εργαστήριο κατασκευάστε το κύκλωμα αυτό, και ελέγξτε την ορθή λειτουργία του. Θυμηθείτε ότι σε αυτά τα διαγράμματα κυκλωμάτων, όταν δύο γραμμές τέμνονται χωρίς κουκκίδα σημαίνει ότι τα αντίστοιχα σύρματα διασταυρώνονται χωρίς επαφή· οι διακλαδώσεις συρμάτων με επαφή προτιμάμε να έχουν σχήμα "Τ" (μονή διακλάδωση) και όχι σταυρού (διπλή διακλάδωση από το ίδιο σημείο). .

Συνθήκες Αδιαφορίας (Don't Care Conditions):

Όταν ένας πίνακας αληθείας δεν προκαθορίζει την τιμή εξόδου γιά ορισμένο συνδυασμό τιμών εισόδου, λέμε ότι εκεί έχουμε μία συνθήκη αδιαφορίας (don't care condition), και συχνά βάζουμε στον στη θέση εκείνη του πίνακα και του χάρτη Karnaugh σα σύμβολο ένα "x". Στο χάρτη Karnaugh, όταν αναζητούμε την ελάχιστη δυνατή ένωση των μέγιστων δυνατών περιοχών γειτονικών τετραγώνων προκειμένου να καλύψουμε τους άσσους του χάρτη, θεωρούμε ότι το κάθε "x" είναι ό,τι μας βολεύει. Αν βολεύει να το θεωρήσουμε σαν άσσο, προκειμένου να πετύχουμε μεγαλύτερη περιοχή γειτονικών τετραγώνων, το θεωρούμε σαν άσσο. Αν βολεύει να το θεωρήσουμε σαν μηδενικό, προκειμένου να μην χρειαστούμε μιά επιπλέον περιοχή γιά να το καλύψουμε, το θεωρούμε σαν μηδενικό. Η συμπεριφορά του τελικού κυκλώματος γιά κάθε αδιάφορη τιμή εισόδων θα καθοριστεί προφανώς από το τι μας βόλεψε και θεωρήσαμε το αντίστοιχο "x" στο χάρτη.

Άσκηση 3.4: Οι Αριθμοί 0-9 στην Οθόνη 7 Τμημάτων